Анотація до роботи:

Кучер О. Ю. Дослідження періодичних розв’язків в динаміці твердого тіла. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню точних розв’язків класичної задачі про рух твердого тіла навколо нерухомої точки і якісному опису поведінки збурених траєкторій у малому околі точних періодичних розв’язків, знайдених В.О. Стєкловим, Д.Н. Горячевим, С.О. Чаплигіним, Н. Ковалевським, Дж. Гріолі, А.Й. Докшевичем, Б.І. Коносевичем і Є.В. Поздняковичем.

Побудовано біфуркаційні діаграми і знайдено критичні значення інтегральних сталих, визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів, яким належать відомі точні розв’язки системи Ейлера–Пуассона. Для семи сімей відомих точних періодичних розв’язків обчислено показники Ляпунова і вилучено області параметрів, у яких ці розв’язки нестійкі; отримано точні значення показників Ляпунова для граничних і вироджених випадків, що належать до регулярних прецесій, маятникових коливань і рівномірних обертань; досліджено фазові портрети динамічної системи у малому околі точних розв’язків.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в аналітичній механіці і теорії стійкості.

В роботі вивчено основні якісні властивості восьми сімей періодичних окремих розв'язків класичної задачі про рух важкого твердого тіла навколо нерухомої точки, знайдених В.О. Стєкловим, Д.Н. Горячевим, С.О. Чаплигіним, Н. Ковалевським, Дж. Гріолі, А.Й. Докшевичем, Б.І. Коносевичем і Є.В. Поздняковичем. При цьому отримано наступні результати:

1. Вперше визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів, яким належать відомі точні розв'язки рівнянь Ейлера–Пуассона. Для всіх розв’язків побудовано біфуркаційні діаграми і знайдено критичні значення h, g, при яких відбувається зміна топології ізоенергетичних поверхонь Q. Зокрема доведено, що поверхні Q, які несуть розв’язки Н. Ковалевського, гомеоморфні компактним многовидам S³, RP³, S¹xS²; Стєклова, Горячева, Докшевича – RP³; Чаплигіна, Докшевича – S³; Гріолі, Коносевича–Поздняковича – S³, S¹xS².

2. В фазовому просторі задачі побудовано двовимірні поверхні перетинів Пуанкаре спеціального вигляду і вивчено їх біфуркації. Для точних розв’язків вперше досліджено нерухомі (періодичні) точки відображень Пуанкаре, визначено біфуркаційну множину, що поділяє (h,g) на підобласті з різними типами перетинів. Методом фазових перетинів виконано детальний комп'ютерний аналіз траєкторної структури динамічної системи в околі точних періодичних розв'язків рівнянь Ейлера–Пуассона.

3. Вивчено залежність точних періодичних розв'язків від параметрів, проведено аналітичний аналіз граничних і вироджених випадків. Обчислено матриці монодромії і їх мультиплікатори, обчислено характеристичні показники лінеаризованої системи рівнянь збуреного руху для періодичних розв'язків без параметрів, знайдених Докшевичем, Коносевичем і Поздняковичем.

4. Вивчено якісні властивості однопараметричних сімей розв'язків Ковалевського, Горячева і Чаплигіна. Обчислено характеристичні показники в залежності від параметра g. Досліджено властивості матриці монодромії, визначено інтервали орбітальної нестійкості. Вперше виявлено, що розв'язок Чаплигіна нестійкий для всіх припустимих значень g, розв'язок Горячева нестійкий для g(3/8, 0.384922), розв'язок Ковалевського нестійкий для g(10/27, 0.39066)(0.479117, 0.48851). Наведено таблиці поділяючих значень параметрів.

5. Вивчено якісні властивості двопараметричних сімей розв'язків Стєклова, Докшевича, Гріолі. На площині безрозмірних параметрів (a, b) вилучено області динамічної нестійкості точних розв'язків, побудовано криві резонансів (до 4–го порядку включно). Вперше дослідженнями граничних випадків (прецесій, маятникових рухів і рівномірних обертань) усунено неоднозначність визначення характеристичних показників для розв'язків Стєклова і Докшевича. Дано якісний опис траєкторної структури фазового простору в околі точних періодичних розв'язків.

Публікації автора:

1. Гашененко И.Н., Кучер Е.Ю. Анализ изоэнергетических поверхностей для точных решений задачи о движении твердого тела // Механика твердого тела.– 2001.– Вып. 31.– С. 18–30.

2. Гашененко И.Н., Кучер Е.Ю. Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера – Пуассона // Механика твердого тела.– 2002.– Вып. 32.– С. 50–59.

3. Кучер Е.Ю. Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина // Механика твердого тела.– 2003.– Вып. 33.– С. 33–39.

4. Kucher E.Yu. Lyapunov's exponents of periodic solutions in dynamics of rigid body // Proceedings of the 7^th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. – Poland, d, December, 8–11, 2003. – Vol. 1.– P. 353–360.

5. Kucher E.Yu. Qualitative analysis of periodic solutions in rigid body dynamics // Proceedings of the 8^th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. – Poland, d, December, 12–15, 2005. – Vol. 2.– P. 745–752.

6. Кучер Е.Ю. Моделирование динамики твердого тела в окрестности периодических решений Горячева и Чаплыгина // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докл. 8–й межд. конф. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2002. – С.70.

7. Кучер Е.Ю. О малых возмущениях периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докл. межд. конф. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2004. – С.42.

8. Кучер Е.Ю. Анализ неустойчивых периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докл. 9–й межд. конф. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2005. – С.85–86.

9. Kucher E.Yu. Qualitative analysis of periodic solutions in rigid body dynamics // Proceedings of the 8^th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. – Poland, d, December, 12–15, 2005. – Abstracts.– P.100.